起因是有学生问了一道物理错题，但是深入思考后，很难用一句话表达我的内心。所以，在讨论题目前，先回顾一个老段子：

把一只蜘蛛放在桌上，然后冲蜘蛛大吼一声“爬”，蜘蛛跑了！之后把这只蜘蛛抓回来，放在桌上，把蜘蛛的脚全部割掉。然后再冲蜘蛛大吼一声“爬”，蜘蛛不动了！由此证明蜘蛛的听觉在脚上。

和“真空中的球形鸡”等物理笑话不同，这个笑话的接受度非常高，很多人听后都能真的会心一笑：书呆子用一大套听不懂的废话，果然得出了一个愚蠢的结果！

之所以我把它归类为物理（或科学）笑话，因为它的笑点在于：应用对照实验的过程中，选择了错误的条件与现象，条件与现象之间有额外的关联性导致实验的推理无效。

曾经为以为这个笑话接受度较高，是因为大家把“蜘蛛听不懂人类语言”作为一个笑点。虽然我知道这不太符合笑话的设计理论：包袱应该在最后抖开。后来我慢慢明白，很多人的笑点在“听觉在脚上”，所以“只有这些不通世事的nerd才能得出如此荒谬的结论！”

那时我才明白，这个笑话中的实验动物用蜘蛛不是随便选的，这很可能是一个精通笑话设计理论的nerd做出来钓鱼用的笑话。因为蜘蛛的听觉确实在脚上！ 更确切地说，蜘蛛用腿上的一种特殊毛发来感知外部的震动和声音，随便一篇论文：Airborne Acoustic Perception by a Jumping Spider : https://www.cell.com/current-biology/pdf/S0960-9822(16)30985-X.pdf 其实只要稍微思考一下蜘蛛如何感知到网上有猎物了，就能想到。在有人用这个笑话嘲笑nerd太呆时，很可能也被对方悄悄记录了自己的愚蠢。

实验原理这么简单的“常识逻辑”可能还真的不是所有人天生理解的。

题目

这是2009年的题，后来的真题卷就没有再重复使用这道题了，估计是各个教研组也发现问题了吧。但在校外，学生碰到这道题的机会还是满大的。

为什么不能套路

套路是应试技巧，而不是学习方法。平时学习中套路掉的题目，除了学习套路的目的外，基本就是浪费时间了。

套路很清楚：题目说“研究液体压强与哪些因素有关”，又提示了纯水和盐溶液的密度。所以，每个小题，都是去观察小题说的图像范围，找到不同，然后套到液体压强的定律上。

答：
(1): 从（a）可以看出，同种液体中，在不同高度喷出的液体在水平方向喷射的距离不同。液体越深，喷射的水平距离越远，喷射的水平距离远说明液体对器壁的压强大。所以，在同种液体中，液体深度越大，压强越大。

(2): 由（a）（b）图可看出，不同液体在相同高度喷出的液体的水平喷射距离不同，液体的密度大的喷射距离大，这说明液体密度越大对器壁的压强也越大。

这道题目设计的非常好，除了一点点小瑕疵：实验是错误的

这道题主要考察实验分析中，控制变量法在对照实验中的应用。需要学生仔细观察实验现象、找到不同，分析不同的原因、得出结论。应当说是一道难度适中、考察比较全面的好题。

唯一的问题是，这个实验是出题人编造的，并且是随意编造的，有很多初中生就应该看出来的错误。使得这个题目不能被使用，还是比较可惜的。

实际上，实验题目中写的实验，除了个别考察教科书上教过的实验，基本都是（肆意）编造的。并且，为了不干扰学生解题，距离学生当前理论水平太远的物理理论会被刻意忽略。比如卫星运动会忽略相对论效应、比如几何光学实验忽略衍射影响、比如力学实验忽略计划外的摩擦和形变…

问题是，现在的错误是初中水平能发现的，虽然学生可能无法精确算出实验结果。

问题1: 盐水喷射初速度更快吗？

并不。同样深度的盐水（高密度）比纯水（低密度）产生的压强要大，这是对的，$p=\rho g h$嘛。但是，向外喷射的液体密度也变大了，难道不觉得想喷射同样的速度需要用更大的力吗？这个定性的怀疑，是需要初中生能想到的。

精确的计算超出了初中范围。这个情况其实是伯努利定律（1738年发表）的一个最简化特例，液体喷出的速度$v=\sqrt{2gh}$ 和液体密度无关。用能量守恒或者牛顿运动定律都比较容易发现这个结果，所以，不能用这个骗初中生。

实际上如果考虑的更多，伴随盐水浓度上升，液体的粘度也会上升 （$NaCl$溶液粘度表)。这样它喷射的初速度应该会变小。

问题2: 喷射初速度更快，就一定落点更远吗？

这个是不太应该犯的错误。液体被喷出后其实是一个平抛运动，精确的计算需要高中知识。但起点越高，滞空时间越长，即使水平初速度相对较小也能飞比较远的距离。所以，极值出现在中部，初速度和高度配合最好的某个地方。

另外，运动轨迹交叉是一个非常典型的提示。不改变喷水装置，只是把接水盘放置到图中蓝线或红线的位置，两个喷嘴喷水的远近关系就逆转了啊，这说明观察落点远近作为一个现象去进行分析，是非常危险的。

如果要具体算一下：

我们设液面到接水盘（地面）的高度为$H$，喷嘴的深度为$h$。如图：

根据伯努利定律，喷嘴深度为$h$，喷射的初速度为$v=\sqrt{2gh}$

喷嘴离地面高度为$H-h$，落地需要的时间为：$t=\sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$

水平飞行距离$s=vt=2\sqrt{-h^2+Hh}$

H为常量，飞行距离函数的导数$s’=\dfrac{-2h + H}{\sqrt{-h^2+Hh}}$，在导数为0，即$h=\dfrac{1}{2}H$时$s$取得最大值$H$。喷射的最远距离竟然和液体离地面高度相同，挺奇妙吧？

不喜欢高等数学可以看飞行距离函数曲线，当$h$最大值等于$H$，即下面没有小木块的时候，可以看到结论很明显：

当$h$最大值只有$H$一半，即下面叠加一个和液面最大深度相同高度的木块时，确实下面的喷嘴喷最远：

当$H=1.3h$，即在下面加一个页面高度30%的木块时，实验观测已经比较难观测到最后的距离缩短了（必须第二个喷嘴比第三个远，可用的范围很窄了：

另外，如果增加木块是因为明知道这个结论而故意垫高的，那就不是考察液体压强知识了吧？

那么，这个题目就不能用了吗？

这个题目设计者对不同深度液体的压强理解还是正确的，$p=\rho gh$嘛。我们有专门的实验用具啊！而且是专门设计给中学生用的、成年人实验室里肯定用不到的、完全没有其它用处的：液体压强演示器。

附注：真空中的球形鸡

有一个农民发现自己养的鸡都出问题不下蛋了，找一个物理学家帮忙。物理学家做了一番计算之后宣布我已经找到了一个解！但是这个解只对真空中的球形鸡有效。

这是一个古老的物理笑话，Leonard 曾使用它最为一次演讲的开场白。

“我能学得会，但不想学得累”

最近看到一些学习数学的小朋友和家长，“听得懂、学得会；成绩有效提高”，但

四年级结束，我们基本学完了『算数』

五年级开始还有一点儿（小数乘除法），然后我们就基本学完了算数，数学能力可以满足买菜的需求了。而且现在还教小朋友如何使用计算器，买菜妥妥地。

算数 calculation 是和生活联系最直接的数学技能，也是最简单直白的，简单到把它称为”知识”都会心虚。相对地，四则混合计算的能力靠简单重复训练即可获得明显的提高。

在这个阶段，还完成了把现实世界和数字联系起来的能力培养

这个训练，是以应用题的形式存在于每个年级每个阶段中的。这是低年级数学培养的一个极其重要的能力，如果应用能力不行，买菜都不知道该用乘法还是加法，那计算就算白学了。

例1：
夏天到了，小红去买冰淇淋，2元一个的小蛋筒买了3个，5元一个的大蛋筒买了1个，一共应该付多少钱？

答：11元

这是个简单的题目。但是，如果问学生们是如何计算的，你会诧异地发现：原来 $2+3+5+1$ 也可以 $=11$

所以，我们要坚持让学生在平时的训练中进行规范的作答，以便及时发现问题。

另外，平时的作业中较难发现问题的原因在于：今天学习乘法，作业的应用题里面有两个数，你猜应该咋办？

例2：
小明和妈妈去买苹果，苹果每斤8元，买了4斤，需要付多少钱？

所以，我们要把练习搞成这种：

例3：
小明和妈妈24号去买苹果，每斤8元，准备星期2吃，一共买了4斤，需要付多少钱？

例4：
小明和妈妈去买水果，苹果每斤8元、桔子每斤7元，买了3斤桔子、4斤苹果；还买了2斤每斤3元钱的番茄，一共需要付多少钱？

这样的练习才能避免作业全对、考试不会的尴尬情况。

以上例题都是买菜难度，显然不是奥数难度。另外，你也可能注意到了，它们也不是4年级难度。引用它们只是为了说明问题

低年级数学，还试图培养对数的感觉，为学生搭建懵懂的数学思想

各个年级都在角落点缀了一些找规律、巧算、拓展等题目，试图训练出一些对数字的直觉。这种对数字的感觉，在未来的数学学习（乃至科学学习）中，将起到至关重要的作用。

这些直觉虽然对巧算能起到巨大的帮助，但对算数计算而言，并不是必需的；不会巧算，只要有强大的计算能力加上认真，也能正确完成计算任务。甚至，当一个问题对你而言足够简单的时候，动用巧算反而耽误时间。

例5：
比如，计算 $7+8$, 你会把它”巧算”成 $7+3+5$ 吗？

然而，当数学从5年级开始进入抽象阶段，这些感觉就变得愈发重要起来，在进入大学并且选择纯数学研究以前，这种不严谨的数感是学习和理解数学工具的主要依托，它会极大地影响一个人掌握数学知识的速度与能力。

例6：
哪个更好理解？
$$2\times3=3\times2$$
$$a\times b=b\times a$$

• 当你觉得字母更好的时候，你开始理解了
• 当你觉得它们没有区别的时候，你才真正理解了

因为感觉这种东西没法衡量，所以在低年级主要是以巧算作为训练方法。不过，在多次减负以后，这些训练严重不足了。但这些缺失在四年级的成绩中基本体现不出来，到了六七年级完全学不会的时候，已然来不及了。

所以，如果你没能发展出这种能力，那么你的数学基本止步于此了。在后面的很多年中，你会费尽九牛二虎之力再学会简单的方程和一些简单形状的面积体积等公式。（作为一个大人）闭上眼睛想想，如果你脑子里没有什么更高级的数学知识或技能，那么你的数学能力就基本相当于小学水平了。

抽象，才正式开始数学的学习

数学 mathematica 和其它科学相比是一个更加抽象和更加逻辑化的学科；具体数值的计算反而是工程领域学科更注重的技能。 五年级，代数和几何开始了抽象的数学概念的学习，并且这个抽象程度会快速提高。

低年级掌握的数学知识和技能，将帮助你开始一个新的轮回：用字母重新学习一遍加减乘除，这基本是5~9年级代数的主要内容。

例7： 公式
$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

• 将数字用字母代替后，新推导出一系列公式。如果难以想像把字母当成数这个事情，将会遇到很多困难

另一方面，借助欧几里得几何的学习，学会用数学语言描述问题和思考的过程。

例8：
求证：$$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geq(ax+by+cz)^2$$

• 很多任务，不再是要得出一个数；而是要一个逻辑过程
• 有的时候，甚至只要求证明结果存在而不用算出来。当然，看起来简单的问题，解决起来会更难

大部分题目涉及的数字都不会超过100，也一般不会出现复杂的小数，但对这些有限的数的多角度处理成为了比较基础的能力要求。这些都是曾经的巧算。

例9：
因式分解：
$$x^2-8xy+15y^2+2x-4y-3$$

• 提示：$3\times5=15, 3+5=8$

例10：
自然数 $123456789$ 是素数还是合数？为什么？

• 提示：这个数可以被3整除

四年级的数学程度，基本决定了未来

因为已经完成了一个周期，开始了新轮回的学习，所以会经常使用到前面轮回的知识和能力。于是乎一些人开始使用显然定理，逐渐走上学霸的路。

比如例9里面因式分解的第一步，$x^2-8xy+15y^2$ 显然 $=(x-3y)(x-5y)$。有人可以一秒看出来，也有人就是算不出来；学霸觉得这一切都是显然的，而且也不知道可以教你什么，因为你显然知道 $3\times5=15, 3+5=8$。

这就是对数字的感觉。伴随着在正确的路上走下去，可以把这种数感训练的越来越强大，最终成为真学霸。

四年级，你还有机会在数学上真正入门。你还可以选择：是做好准备，在未来的人生中花一部分时间去领略数学的美丽；还是停留在买菜的级别就够了。

我花一千多去香港

我花一千多买耳机

我花一千多当天回来

我花一千多分钟丢了一只……

我恨命运一千年, 虽然它看起来像首诗

既然“道”这么好，那么咱就学这个呗？

唯一的问题，但也是最大的问题：“道”这个东西没办法教，因为它不可描述。能讲出来的东西，最多也就能达到“法”的层次。

直接学“道” (准确地说，这个过程叫“悟道”)，可能有两种结果：

• 直接悟道，从此成圣 (比如王守仁 – 而且王守仁格竹悟出来的道也挺黑色幽默的)
• 啥也不知道

可惜，从概率上讲，结果基本是后者。

那就从容易学的先开始学嘛

这就是邪派武功！

为什么？为什么不能从低层次开始学，逐渐向“道”发展呢？因为低层次的知识会阻碍你领悟“道”，特别是工具和技能类知识。

悟道的过程其实是竭尽全力面对困难问题的过程。智慧，需要的是一次次深入的思考；如果是武功，那就是一次次面对生死存亡。如果学习了高级的工具或技能，那么解决相应的问题就不需要深入的思考，也就不会得到训练和成长。(或者说，就需要困难得多的题目或者危险得多的战斗，才能提高能力) 这有点儿杀小怪没有经验值的感觉。

“邪派”听起来不怎么样，要不咱还是来正派的吧

其实没有正邪，只是路线区别；其实(除了部分主角)没有正义，只有利益。

无论哪派，学武功都想天下无敌；无论怎么学理，都想成为圣贤。可问题是以此为目的的话，成功率有多少呢？想想读书人和圣贤的比例，成功率基本是0：全天下读书人，平均几百年才出个圣贤。

用数学语言来讲：当人数从正无穷趋近于1时，练成顶尖高手的期望迅速趋近于0。名门大派，弟子多，虽然概率很低，但总是能出高手的(另外，低级工作也需要低手)。门派小的，就很可能颗粒无收。

邪派路线，就是降低前期学习难度，付出的代价是后期“悟道”的难度指数上涨。用数学语言来讲：邪派路线的成功期望是正派路线期望的高阶无穷小。

其实遵循西方科学轨迹的现代教育就是这样的顺序：先学习简单的知识技能（术）与工具运用（器）；再学习已知的定理定律（法）；等已知的都学完，你就可以博士毕业去研究真理（道）了。好处是我们有了大量只懂一些低层次知识的现代劳动力推动生产力发展；坏处是博士其实并不“博”，然后能尝试去研究真理的，越来越少了。

“正派”训练的是思考和学习能力，“邪派”训练的是应对讨论和模式

为了达成短期目标，肯定是邪法更容易见效果。虽然牺牲了未来的更高发展可能性，但是，如果不做好当下，就连低端都进不去。所以，大家都知道刷题既没意义又残害童年，可是为了能进好一点点儿的学校，也不得不刷。奥数、英语、各类比赛，也是同样的道理。参与其中的孩子，还有几个是因为兴趣，而参加“兴趣班”的呢？

而处于高级阶层的家长，则在整天叫嚣“素质教育”、举报学校补课、甚至恶意投诉讲课好的老师…… 他们期望的，是教育无效化，大家都学不会；然后教主位置传给教主儿子、堂主位置传给堂主儿子、你的一无所有，传给你儿子。

所以，学习奥数，首先想明白，你为什么要学奥数

今天看到一本书说：

有证据表明，人们很自然地把计算机当人来对待。当计算机表现好的时候，我们认为它们是队友，而当它们固执或无礼的时候，我们也会像对待固执或无礼人的一样对待它们。

感觉好有道理，然后他又说：

你的工作是当一个好的管理者：找到充分利用优点、摒弃弱点的方法。 并且找到使用你的情感来解决问题的方法， 而不是让你的情绪干扰你有效工作的能力。

……

要是有这种心情，直接去管人好不好？

做程序员的好处，难道不是程序不好用的时候就可以砸键盘吗？

难道不是砸完键盘，PM 马上就会来安慰并奉上一只新的 HHKB 吗？

自己写的 bug，哭着也要调通啊…

线性代数很难学！

因为书真的很难懂。可能是数学家并不希望我们能和他们站在同一水平线上，他们讲出来的东西充满的黑话和切口；也可能是我还没学会、还没理解数学的精妙，所以无法理解…

我总怀疑是教育的问题

毕竟一切自己的无能都可以怪教育、怪家庭、怪党怪政府

矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。

现代的线性代数教育都是这么开始的吧…… 这个定义是如此精妙，以至于几乎不包含什么有用的信息。好吧我知道$ \begin{matrix}1 & 2 \cr 3 & 4 \end{matrix} $这样是矩阵了，然后呢？

然后，讲课的白胡子老头就在黑板上多举几个例子，你慢慢想起了五行八卦、奇门遁甲、风水堪舆、封神演义…… 我擦嘞，这门课不会这么NB吧？

认真听课、认真听课！看看老神仙用矩阵干嘛。

然后！可但是！ 转折出现了：老神仙老头说介玩意用来解方程组…… 你是不是有病？说好的封神演义呢？我想祭起一块金砖砸你你造吗？

然后，老头老家伙带着你解了无数的方程，系数都没超过过100，丫的竟然还是用高斯消元法！我本来就会好不好？你这样搞比直接解方程还麻烦了好不好？你就是有病！

然后就是标准的大学生学习方法：逃课、抄作业、考试周突击、放假忘光。

现在你都解释不清楚线性代数是干嘛用的吧？我就问你敢不敢说自己当年学过线性代数？

老神仙讲奇门遁甲的时候反正我是不在教室的……

矩阵是线性变换

逃了一些课之后，再去上课就像听天书了……全是没听过的咒语。只能无助地看着一堆 $ 1 2 3 4 5 $ 在黑板上各种变换。

把一些点变来变去又有什么用呢？结论还是：有病！所以，继续不上课。

昨天忽然想通了：运动是相对的。变换也可以是点不动，坐标系动；结果就可以得到不同坐标系下同一个点的向量表述。忽然就理解机器学习是在寻找什么了：用两种不同的语言，描述同一个东西，找到两种语言的翻译方法。描述用向量表示，翻译方法就是一个矩阵，翻译过程居然就是
$$ Ax=b$$
我擦嘞！老神仙第一天就讲了这个！忽然想哭有木有？

有监督的机器学习就是：给出一堆 $x \to b$ 的映射，让机器帮忙找到一个 $A$, 尽量满足所有的 $Ax=b$。然后再拿到新的 $x$ ，马上就可以做 $A \cdot x$, 得到相应的 $b$ 表述。

这玩意一点儿也不高深啊！怪不得科学家们都不说人话，一上来就和你谈使用贝叶斯的时候如何进行拉普拉斯平滑才能更好地…… 而且，顶尖科学家会在说明过程中向你投掷100个公式！完全无法一起开心地玩耍。

真的吗？

我也觉得这种理解太肤浅了！所以尝试用这个思想推导一下鸡兔同笼问题来验证。

因为线性空间要求实数域，我们假设鸡和兔兔的头和腿能被精确地分割成小数：半只鸡就一条腿、$\frac{1}{4}$只鸡就半条腿。嗯，没毛病。 额，还有负数只…… 就当欠别人吧。

对于一个给定的事实：一些鸡和兔兔们在一起，我们用两种视角去看待它：

• $c$只鸡和$r$只兔兔在一起，我们(在鸡兔坐标系中)用$(c,r)$表示。如果我们用向量 $\binom{c}{r}$ 来表示这种描述，可以证明所有鸡兔数量的向量构成一个向量空间。 此处我们使用显然定理，哇哈哈哈~ 另外，它其实就是$R^2$。

• $h$只头和$l$只腿腿在一起(好恐怖…)，我们(在头腿坐标系中)用$(h,l)$表示。我们用向量 $\binom{h}{l}$ 来表示这种描述。

可以证明两种表述间存在一一对应关系，此处再次使用显然定理，哈哈哈~

另一个重要的事实是对于这一堆动物，不管从什么角度去观察，虽然得到的观察结果看上去可能很不相同，但它们描述的都是一个毫无差别的事情。这一堆里面有几只鸡几只兔子、有几个头几条腿、或者其它的特征，不因观察而变化。这和盒子里的半死不活猫不一样。

正向思考总是很容易

已知鸡兔数量求头和腿的线性变换很容易想出来：
$$ \begin{bmatrix} 1 & 1\cr 2 & 4\end{bmatrix} \cdot \binom{c}{r} = \binom{h}{l}$$

咱们把这个矩阵叫做 A。 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 1\cr 2 & 4\end{bmatrix} $

逆向就不是那么容易了

前面的思考告诉我们这个变换是存在的，但想直接写出来并不是那么容易(其实也不难)。但线性代数告诉我们反向的变换就是 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$。

既然现在不是上学了，那么显然是要用工具进行具体计算的, 于是：
$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \cr -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

我们验证一下，假设有5个头和14条腿：
$$ \begin{bmatrix} 2 & -\frac{1}{2} \cr -1 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \cdot \binom{5}{14} = \binom{3}{2}$$

现在不管多少的头配腿，只要放到式子里面一算，马上就知道鸡和兔兔数量啦！

哇！这招数好神奇

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1\cr 2 & 4\end{bmatrix} \cdot \binom{c}{r} = \binom{h}{l}$$
其实吧…
$$ 就是这个 \begin{cases} x + y = 5 \cr 2x+4y=14\end{cases} $$

到头来还是在解方程组…

只要用这一个矩阵就可以直接搞定一切鸡兔同笼问题了！

–

另外：

• 乌龟和螃蟹在一个笼子里…

  (螃蟹十足目哦~ 我开始就用8条腿算的…)
  $$ \begin{bmatrix} \frac{5}{3} & -\frac{1}{6}\cr -\frac{2}{3} & \frac{1}{6}\end{bmatrix} \cdot \binom{头}{腿} = \binom{龟}{蟹}$$

• 三头四腿地狱犬和双头八脚章鱼怪在一个笼子里 (如果不互相吃的话…)
  $$ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{8}\cr -\frac{1}{4} & \frac{3}{16}\end{bmatrix} \cdot \binom{头}{腿} = \binom{地狱犬}{章鱼怪}$$
• 大师兄讨厌的百足千眼多目怪和二师兄喜欢的八足八眼蜘蛛精
  $$ \begin{bmatrix} -\frac{1}{900} & \frac{1}{900}\cr \frac{5}{36} & -\frac{1}{72}\end{bmatrix} \cdot \binom{足}{眼} = \binom{多目怪}{蜘蛛精}$$
  密集恐惧症要犯了！！！想一下就恶心，怪不得大师兄也受不鸟

• 进阶的：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。已知共有21只，有140条腿和24对翅。奥数解法是先把六条腿的当成一类，一共做两次鸡兔同笼方法解决。矩阵：
  $$ \begin{bmatrix} -3 & \frac{1}{2} & 0\cr
  -4 & \frac{1}{2} & 1 \cr
  8 & -1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \left(\begin{array}{}{头}\cr{腿}\cr{翅}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{}{蜘蛛}\cr{蜻蜓}\cr{蝉}\end{array}\right)$$

  本题就：
  $$ \begin{bmatrix} -3 & \frac{1}{2} & 0\cr
  -4 & \frac{1}{2} & 1 \cr
  8 & -1 & -1 \end{bmatrix} \cdot \left(\begin{array}{}{21}\cr{140}\cr{24}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{}蜘蛛 & 7\cr蜻蜓 & 10 \cr蝉 & 4\end{array}\right)$$

然后我们来看看机器学习

先做个线性回归，可以看到训练效果很好，很快就收敛到可接受的程度。之后用了一些时间来解决小数点后好多位的问题，因为我设置的训练停止条件是误差为0。
线性回归:
结果:

这只是验证一下，毕竟线性回归这种事情用 Excel 也能做

–

神经网络学习蜘蛛蜻蜓蝉哦:
结果:

随便输出两条计算结果，已经很接近了。如果是求整数解，那就是正确的了：

经过与苹果半个月的沟通, 这个严肃的软件终于在愚人节被通过审核上架了…

你可以用它来帮忙选择强壮的密码；也可以查询互联网上已知的危险密码。

一句话：儿童时期的奥数学习过程是提高对世界本质理解力的主要机会

快速问答：

• 奥数对生活有用吗？

  • 没用!
  • 但是，学习奥数很可能对改变生活水平有用。

• 只考虑择校，不考虑其它因素，我应该学习奥数吗？

  • 你要是这样问，应该!
  • 但是，是否学得会总要考虑吧。
  • 通往名校的路那么多，还是综合各种因素选择合适的比较好。
  • 奥数是好东西，择校绝对不是它的主要功能 - 关键是也不保证有效。

• 反正是陪跑，得不了名次，是否还要学习奥数？

  • 发展体育运动，增强人民体质。

奥数：首席择校工具

奥数本来是少数人的游戏，后来因为一些原因变成了名校入学门票；然后杯赛变得比球赛还多；再然后机构开始上市了……

现在谈起奥数的意义，大家直接就从择校开始聊教育意义了。这就像去养鸡场应聘“禽类宰杀岗”结果题目是屠龙，而且屠的不熟练根本进不去…… “杀鸡焉用牛刀”已经无法描述这个场景了。而且龙还根本不是禽类 (西方巨龙是有翼爬行动物；东方神龙是神兽)。

奥数，它不是干这个用的……

奥数是一个学习工具

现在关注奥数的家长基本都是因为子女择校而开始关注的，大家本身并没有学习过这个东西，所以自然对这个“都数过了还不知道鸡和兔子有多少只”的科目很疑惑；很难理解这到底学的是什么。

看看这个玩具：

估计很多家长都买过，至少是类似产品。

这东西是干嘛的？直白点儿讲，它是培养幼儿“形状识别能力”，而不是“认识5个形状”。它培养的是一种能力，一生都用得到的能力。如果仅仅是“认识5个形状”，我们就可以问同样的问题：“买菜用得上吗？”

奥数，就是上面例子中的“5个形状”。

和学校课程学习知识不同：学习奥数，它的真正价值并不是学会解奇怪的奥数题目；而是通过学习和思考的过程，学习另一种东西。这种东西太难，而且没办法直接教和学；只能利用“学习奥数”来学习它。

这种东西，在我国的文化里面，叫做“道”。学习奥数，不谈“大道”，至少在数学和科学中是帮助巨大的。学得越好，学到的“道”就越基础，应用范围也就越广泛。

道，可道，非常道

我们的文化一直推崇：学习，就要学最本质的东西。这样未来的发展才更稳定，顶点也更高。正派武功都是前期难学且进展缓慢，后期才有浩然正气；3个月速成包找工作的都是邪派武功，继续进步极其艰难，隐患一堆，而且很少听说这里面出大侠。

对世界的认知与利用分成道法术器四个层次：

• 道：世界运行的根本规律。它客观存在且不可（被我们）改变。它过于艰深以至于我们无法描述它。（可能根本就无法理解它）
• 法：（我们总结出来的）世界运行规律与规则；包括人为制定的规则。这是我们能描述的最高级的知识
• 术：动作
• 器：媒介

中西方的文化对比很明显：

• 中国讲究道术：从开始修炼就感悟天理，研究调用天地间的本源力量的高级技能。
• 西方讲究法术：修炼从固定手势，固定咒语，固定材料的低级法术使用开始学习；只有传奇级别的法师才会开始研究世界本源。

所以东方的修行者前几百甚至几千年修成前都不太敢下山；但一旦修成，移山填海都是基本技能。而西方魔法师，虽然一开始就有不少攻击力，但变成传奇以前基本就是火球大小的差别。

那么，你到底想说什么？

奥数，是用来学习大道的。更准确地说，是学习“学习与思考大道”的能力。类似学写字和学写诗之间的关系。

奥数的学习方法，就是用极其有限的知识和极弱的工具去处理极其复杂的问题。由于工具的局限性，使得你必须要认清问题的本质，才可能解决问题。往小里说，奥数训练的就是这套“找到问题本质”的方法。

为什么说小学奥数是训练这种技能的主要机会？

我们看到了，这个训练方法其实就是找到很复杂的问题，（由于工具不给力）逼迫你去思考。而伴随着知识的增长，问题的复杂性就相对下降了。

同样是鸡兔同笼，给学习过二元一次方程的你，能带来什么思考？你只可能思考“出题的人是不是有病？？？” 思考这个显然无法带来任何正面帮助了。

现代知识的学习，让我们很快就不再有机会接触这种需要全力思考的问题了。伴随着基础教育的完成，周围能看到的问题慢慢分成了“知道如何解决的”和“根本看不懂问题的”两种；思考能力也就只能用来研究“晚上吃啥”了。

所以说，训练这种高级技能，小学奥数阶段是最好的机会。

那个…这玩意儿有嘛用？买菜有用吗？

一眼能看到问题的核心线索，这是进行正确战略决策的基础；或者说，当领导说：“你要抓住问题本质。”的时候。

它会潜移默化影响你人生中的无数选择：因为理解更透彻，选择结果最优的期望（注意“期望”是数学术语）更高一些。

另外，它是被动技能。或许，在你选菜的时候也会自动使用呢。

所以，你是想说奥数很重要，一定要去学喽？

并没有。

还是要看自己具体情况来决策。这个技能确实很强大，但强大的技能并不一定对每个人都有用。就算你能直接预测彩票开奖号码，你至少也得有两块钱本钱不是。

想要有所长，礼乐射御书术随便哪样都能让人眼前一亮。

单纯为升学，升学的捷径那么多，选一个适合自己情况的吧。（对儿童成长最为有利的择校方法是：学区房！虽然并买不起。）

如果有时间又不知道安排什么好，那么强烈推荐“玩”一下奥数。